Assessoria em mapas e atividades da Unicesumar

CONTEXTUALIZAÇÃO

Uma indústria está projetando um tanque de armazenamento temporário de efluente líquido antes do envio para o sistema de tratamento. O tanque possui base circular e um fundo com formato parabólico, projetado para facilitar o escoamento de sólidos.

Durante o dimensionamento do sistema, a equipe de engenharia precisa avaliar:

- O volume máximo de armazenamento do tanque.

- A massa total de efluente armazenada, considerando variação de densidade com a profundidade.

Para realizar essas análises, serão utilizadas ferramentas matemáticas estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II, incluindo integrais múltiplas.

Fonte: a autora, 2026.

ETAPA 1. Volume do tanque

O tanque está centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), sendo o eixo z orientado verticalmente.

O fundo do tanque possui formato de paraboloide e é descrito pela equação:

Na borda do tanque, onde x² + y² = 4, a equação do fundo fornece:

Para maior entendimento, observe a Figura 1.

Fonte: gerada por Gemini em 1 abr. 2026.

Tarefas

a) Escreva a integral dupla em coordenadas polares que representa o volume máximo do tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Calcule o volume máximo do tanque.

ETAPA 2. Massa total do efluente

Durante a operação do tanque, a densidade do efluente não é constante devido à presença de sólidos suspensos. A densidade varia com a altura no interior do tanque segundo a expressão:

onde:

- é a densidade em kg/m³

- z é a cota vertical em metros.

Tarefas

a) Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa a massa total de efluente armazenado no tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Resolva a integral e determine a massa total aproximada, em kg, de efluente armazenada no tanque.

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Com base na região R ilustrada na Figura 1, determine a área dessa região utilizando uma integral dupla. Apresente: - A definição correta dos limites de integração. - A montagem da integral dupla. - O cálculo completo da área.

2m assessoria 14:37 Sem Comentarios

ATIVIDADE 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 52_2026

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ATIVIDADE 1

As integrais duplas constituem uma importante ferramenta do Cálculo Multivariável, sendo amplamente utilizadas para determinar grandezas associadas a regiões bidimensionais, como área, massa e volume sob superfícies. Em particular, quando a função integranda é constante e igual a 1, a integral dupla permite calcular diretamente a área de uma região R no plano xy.

Fonte: a autora, 2026.

Figura 1 - Representação da região R.

Fonte: a autora.

Com base na região R ilustrada na Figura 1, determine a área dessa região utilizando uma integral dupla.

Apresente:

- A definição correta dos limites de integração.

- A montagem da integral dupla.

- O cálculo completo da área.

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ATIVIDADE 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 52_2026

2m assessoria 14:37 Sem Comentarios

ATIVIDADE 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 52_2026

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ATIVIDADE 1

Fonte: a autora, 2026.

Figura 1 - Representação da região R.

Fonte: a autora.

Com base na região R ilustrada na Figura 1, determine a área dessa região utilizando uma integral dupla.

Apresente:

- A definição correta dos limites de integração.

- A montagem da integral dupla.

- O cálculo completo da área.

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a) O limite de escoamento (aproximado) para cada material. Além disso, identifique o comportamento dos materiais após o escoamento, verificando se os materiais analisados são dúcteis ou frágeis.

2m assessoria 14:35 Sem Comentarios

MAPA - MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - 52_2026

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SITUAÇÃO-PROBLEMA (hipotética)

Você foi contratado como engenheiro por uma empresa responsável pela manutenção de elevadores em edifícios comerciais. Durante uma inspeção de rotina, foi solicitado que você avaliasse a segurança do sistema de cabos de um elevador que apresenta sinais de desgaste após anos de uso.

O elevador opera transportando até 8 pessoas, considerando uma massa média de 75 kg por pessoa, além da cabine com massa de 600 kg. O sistema utiliza um único cabo de aço carbono, com área da seção transversal de 200 mm².

Seu papel é verificar se o cabo atual ainda opera em condições seguras e propor uma análise complementar com base em ensaios laboratoriais.

VAMOS PRATICAR!

Responda de forma dissertativa às questões a seguir, tentando relacionar os diversos dados e informações disponibilizados na questão, bem como o conhecimento adquirido em nossas aulas e no livro da disciplina.

PARTE 1 – Análise Mecânica

Considerando a aceleração da gravidade igual a 9,81 m/s²:

a) Determine a força total suportada pelo cabo quando o elevador está com carga máxima.

b) Calcule a tensão normal atuante no cabo.

c) Sabendo que o limite de escoamento do aço carbono é de 250 MPa, verifique se o cabo está operando em regime seguro (considere apenas comparação direta, sem coeficiente de segurança).

PARTE 2 – Análise gráfica de resistência dos materiais

Após a análise inicial, a equipe de manutenção identificou sinais de desgaste no cabo de aço do elevador, como deformações permanentes e indícios de fadiga. Por esse motivo, foi recomendada sua substituição preventiva, visando garantir a segurança dos usuários. Nesse contexto, surgiu a necessidade de avaliar se o aço carbono ainda é a melhor opção ou se a liga de titânio, apesar do maior custo, poderia oferecer melhor desempenho mecânico.

Como engenheiro responsável, você deverá realizar ensaios no laboratório virtual (MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ensaio de Tração), comparar o comportamento dos materiais e, com base nos resultados, tomar uma decisão técnica sobre qual material é mais adequado para a aplicação. O ensaio com a liga de aço de carbono gerou o seguinte gráfico.

Fonte: o autor.

A partir do gráfico gerado para a liga de aço de carbono e do gráfico que você gerou para o corpo de prova de liga de titânio, identifique:

a) O limite de escoamento (aproximado) para cada material. Além disso, identifique o comportamento dos materiais após o escoamento, verificando se os materiais analisados são dúcteis ou frágeis.

b) Comparando os materiais, determine qual material apresenta maior resistência mecânica e maior capacidade de deformação antes da ruptura.

c) Com base nas respostas, qual material você, como engenheiro, recomendaria para aplicação no elevador?

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