a) Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa a massa total de efluente armazenado no tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

  

MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 52_2026

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 CONTEXTUALIZAÇÃO

Uma indústria está projetando um tanque de armazenamento temporário de efluente líquido antes do envio para o sistema de tratamento. O tanque possui base circular e um fundo com formato parabólico, projetado para facilitar o escoamento de sólidos.

Durante o dimensionamento do sistema, a equipe de engenharia precisa avaliar:

- O volume máximo de armazenamento do tanque.

- A massa total de efluente armazenada, considerando variação de densidade com a profundidade.

Para realizar essas análises, serão utilizadas ferramentas matemáticas estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II, incluindo integrais múltiplas.

Fonte: a autora, 2026.

 

ETAPA 1. Volume do tanque

O tanque está centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), sendo o eixo z orientado verticalmente.

O fundo do tanque possui formato de paraboloide e é descrito pela equação:

Na borda do tanque, onde x² + y² = 4, a equação do fundo fornece:

Para maior entendimento, observe a Figura 1.

Fonte: gerada por Gemini em 1 abr. 2026.

 

​Tarefas

a) Escreva a integral dupla em coordenadas polares que representa o volume máximo do tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Calcule o volume máximo do tanque.

 

ETAPA 2. Massa total do efluente

Durante a operação do tanque, a densidade do efluente não é constante devido à presença de sólidos suspensos. A densidade varia com a altura no interior do tanque segundo a expressão:

onde:

-  é a densidade em kg/m³

-  z é a cota vertical em metros.

Tarefas

a) Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa a massa total de efluente armazenado no tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Resolva a integral e determine a massa total aproximada, em kg, de efluente armazenada no tanque.

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Durante o dimensionamento do sistema, a equipe de engenharia precisa avaliar:

- O volume máximo de armazenamento do tanque.

- A massa total de efluente armazenada, considerando variação de densidade com a profundidade.

Para realizar essas análises, serão utilizadas ferramentas matemáticas estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II, incluindo integrais múltiplas.

Fonte: a autora, 2026.

 

ETAPA 1. Volume do tanque

O tanque está centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), sendo o eixo z orientado verticalmente.

O fundo do tanque possui formato de paraboloide e é descrito pela equação:

Na borda do tanque, onde x² + y² = 4, a equação do fundo fornece:

Para maior entendimento, observe a Figura 1.

Fonte: gerada por Gemini em 1 abr. 2026.

 

​Tarefas

a) Escreva a integral dupla em coordenadas polares que representa o volume máximo do tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Calcule o volume máximo do tanque.

 

ETAPA 2. Massa total do efluente

Durante a operação do tanque, a densidade do efluente não é constante devido à presença de sólidos suspensos. A densidade varia com a altura no interior do tanque segundo a expressão:

onde:

-  é a densidade em kg/m³

-  z é a cota vertical em metros.

Tarefas

a) Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa a massa total de efluente armazenado no tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Resolva a integral e determine a massa total aproximada, em kg, de efluente armazenada no tanque.

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Com base na região R ilustrada na Figura 1, determine a área dessa região utilizando uma integral dupla. Apresente: - A definição correta dos limites de integração. - A montagem da integral dupla. - O cálculo completo da área.

  

ATIVIDADE 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 52_2026

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 ATIVIDADE 1

 

As integrais duplas constituem uma importante ferramenta do Cálculo Multivariável, sendo amplamente utilizadas para determinar grandezas associadas a regiões bidimensionais, como área, massa e volume sob superfícies. Em particular, quando a função integranda é constante e igual a 1, a integral dupla permite calcular diretamente a área de uma região R no plano xy.

 

Fonte: a autora, 2026.

 

Figura 1 - Representação da região R.

Fonte: a autora.

Com base na região R ilustrada na Figura 1, determine a área dessa região utilizando uma integral dupla.

Apresente:

- A definição correta dos limites de integração.

- A montagem da integral dupla.

- O cálculo completo da área.

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